在控制系统中,稳态误差分析是评估系统在稳定状态下跟踪输入信号能力的一种方法。它通常在频域中进行,特别是在拉普拉斯变换后的 ( s ) 域中。
稳态误差定义
稳态误差 ( e_{ss} ) 是系统在稳态时输出与输入的差异。它可以通过以下公式表示:
[ e_{ss} = \lim_{t \to \infty} e(t) = \lim_{t \to \infty} (r(t) - y(t)) ]
其中, ( r(t) ) 是输入信号, ( y(t) ) 是系统输出。
稳态误差的 ( s ) 域分析
在 ( s ) 域中,稳态误差可以通过系统的误差传递函数来分析。假设我们有一个单位反馈控制系统,其开环传递函数为 ( G(s)H(s) )。我们需要分析三种常见输入信号的稳态误差:单位阶跃输入、单位斜坡输入和单位抛物线输入。
1. 单位阶跃输入
对于单位阶跃输入 ( R(s) = \frac{1}{s} ),稳态误差可以通过最终值定理求得:
[ e_{ss} = \lim_{s \to 0} sE(s) ]
误差传递函数为:
[ E(s) = \frac{R(s)}{1 + G(s)H(s)} ]
因此,单位阶跃输入的稳态误差为:
[ e_{ss} = \lim_{s \to 0} \frac{s}{s + G(s)H(s)} ]
如果 ( G(s)H(s) ) 包含一个积分器(即 ( G(s)H(s) ) 在 ( s = 0 ) 处有一个极点),则 ( e_{ss} = 0 )。